和文フォントってあまりないなぁなどと思っておりましたが、自分の検索が甘かったようです。
結構あるものなんですね。(英文フォントほどはないですが。)
前回の手書き風で可愛い日本語フォントを5つという記事も合わせてお読みいただければと思います。
では、淡々とご紹介していこうと思いますが、ご利用される場合はサイトの利用規約をよく読んで利用してください。(ライセンスを確認してください。)
モトヤフォント
お試し・フリーフォントからダウンロードが可能です。 使用の際は、登録が必要です。お試し・フリーフォントの商用利用は禁止。

タイプラボ
使用の際は、登録が必要です。商用利用も出来ます。

和田研細丸ゴシック
ものすごい種類がありますが、全て商用・個人共にフリー。しかも、再配布が可能です。

白舟書体
商用利用できますが、印章関連の商業使用は禁止。

idfont
商用での利用可ですが、商標権等の権利を取得する商品名や会社名等のロゴとして使用する事は出来ません。

M+ FONTS
商用・個人利用フリーです。自由にご利用、複製、再配布することができますが、全て無保証とさせていただきます。とのこと

ゴシック系が多くなってしまいましたが、その他のフォントもいろいろ見てみたいよという方のためにいろいろなフォントを紹介しているサイトをご紹介したいと思います。これだけあればお気に入りのフォントが見つかると思います。
『フリーフォント最前線』
和文フォントや英文フォント、果てはフォント作成ツールなどもあり、なかなか見ているだけでも楽しくなってきます。

このような感じでフォントが紹介されています。

お気に入りフォントがみつかれば幸いです。